ВПР–2026, математика 7 профильного уровня: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 16 № 1743 Добавить в вариант

Найдите остаток от деления на  5 числа $n в степени 5 плюс 4n$ для всех натуральных n.

Спрятать решение

Решение.

Разложим на множители:

$n в степени 5 плюс 4n=n левая круглая скобка n в степени 4 плюс 4 правая круглая скобка =n левая круглая скобка левая круглая скобка n в степени 4 плюс 4n в квадрате плюс 4 правая круглая скобка минус 4n в квадрате правая круглая скобка =$
$=n левая круглая скобка левая круглая скобка n в квадрате плюс 2 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 2n правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка =n левая круглая скобка n в квадрате плюс 2 минус 2n правая круглая скобка левая круглая скобка n в квадрате плюс 2 плюс 2n правая круглая скобка$

При делении на 5 возможны пять различных остатков. Проанализируем каждый из случаев.

Если $n=5k,$ то первый множитель делится на 5.

Если $n=5k плюс 1,$ то третья скобка $n в квадрате плюс 2n плюс 2=25k в квадрате плюс 10k плюс 1 плюс 10k плюс 2 плюс 2=5 левая круглая скобка 5k в квадрате плюс 4k плюс 1 правая круглая скобка$ делится на 5.

Если $n=5k плюс 2,$ то третья скобка $n в квадрате плюс 2n плюс 2=25k в квадрате плюс 20k плюс 4 плюс 10k плюс 4 плюс 2= 5 левая круглая скобка 5k в квадрате плюс 6k плюс 2 правая круглая скобка$ делится на 5.

Если $n=5k плюс 3,$ то вторая скобка $n в квадрате минус 2n плюс 2=25k в квадрате плюс 30k плюс 9 минус 10k минус 6 плюс 2= 5 левая круглая скобка 5k в квадрате плюс 4k плюс 1 правая круглая скобка$ делится на 5.

Если $n=5k плюс 4,$ то вторая скобка $n в квадрате минус 2n плюс 2=25k в квадрате плюс 40k плюс 16 минус 10k минус 8 плюс 2= 5 левая круглая скобка 5k в квадрате плюс 6k плюс 2 правая круглая скобка$ делится на 5.

Таким образом, при всех натуральных n число $n в степени 5 плюс 4n$ делится на  5 без остатка.

Ответ: 0.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии и указания к оцениванию	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Дан верный ответ, но решение недостаточно обосновано ИЛИ Ход решения верный, но допущена вычислительная ошибка	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь