Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Через любые три точки про­хо­дит не более одной окруж­но­сти.»  — верно, Через любые три точки, не ле­жа­щие на одной пря­мой, про­хо­дит един­ствен­ная окруж­ность. Если точки лежат на одной пря­мой, то окруж­ность про­ве­сти не­воз­мож­но. Тем самым, через любые три точки можно про­ве­сти не более одной окруж­но­сти.

2)  «Если рас­сто­я­ние между цен­тра­ми двух окруж­но­стей боль­ше суммы их диа­мет­ров, то эти окруж­но­сти имеют 2 общие точки.»  — не­вер­но, если рас­сто­я­ние между цен­тра­ми мень­ше суммы их ра­ди­у­сов, но боль­ше мо­ду­ля раз­но­сти ра­ди­у­сов, то окруж­но­сти имеют две общие точки, если рас­сто­я­ние между цен­тра­ми равно сумме ра­ди­у­сов, то окруж­но­сти имеют одну общую точку, если рас­сто­я­ние боль­ше суммы ра­ди­у­сов, то окруж­но­сти не имеют общих точек.

3)  «Если ра­ди­у­сы двух окруж­но­стей равны 3 и 5, а рас­сто­я­ние между их цен­тра­ми равно 1, то эти окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся»  — не­вер­но, окруж­ность, ра­ди­ус ко­то­рой равен 3, лежит внут­ри окруж­но­сти с ра­ди­у­сом 5.

4)  «В любой тре­уголь­ник можно впи­сать более одной окруж­но­сти.»  — не­вер­но, в любой тре­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность, при­том толь­ко одну.

Ответ: 1.