Если число де­лит­ся на 27, тогда оно де­лит­ся на 9. Число де­лит­ся на 9 тогда и толь­ко тогда, когда сумма его цифр де­лит­ся на 9. Сле­до­ва­тель­но, сумма цифр по­лу­чив­ше­го­ся числа долж­на де­лит­ся на 9. Од­на­ко если число де­лит­ся на 9, то оно не­обя­за­тель­но де­лит­ся на 27, по­это­му по­тре­бу­ет­ся про­вер­ка.

Сумма цифр числа 123 456 равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Чтобы сумма цифр по­лу­чив­ше­го­ся числа была равна 9, вы­черк­нем цифры, да­ю­щие в сумме 12: 6, 5 и 1. По­лу­чим число 234, оно не де­лит­ся на 27. Тогда вы­черк­нем 2, 4 и 6, по­лу­чим 135  — де­лит­ся на 27.

Ответ: 135.

При­ме­ча­ние о един­ствен­но­сти от­ве­та.

Пе­ре­би­рая все воз­мож­ные вы­чер­ки­ва­ния и не меняя по­ря­док цифр, по­сколь­ку по усло­вию цифры можно толь­ко вы­чер­ки­вать, но не ме­нять ме­ста­ми, можно найти все числа, ко­то­рые можно по­лу­чить из ис­ход­но­го:

—  на­чи­на­ю­щи­е­ся с 1: 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156;

—  на­чи­на­ю­щи­е­ся с 2: 234, 235, 236, 245, 246, 256;

—  на­чи­на­ю­щи­е­ся с 3: 345, 346, 356;

—  на­чи­на­ю­щи­е­ся с 4: 456.

Не­по­сред­ствен­ной про­вер­кой можно убе­дить­ся, что из най­ден­ных чисел на 27 де­лит­ся толь­ко число 135. Дру­гих ва­ри­ан­тов нет.

Если число де­лит­ся на 12, то оно также де­лит­ся на 3 и на 4. Если число де­лит­ся на 4, то число, об­ра­зо­ван­ное двумя по­след­ни­ми циф­ра­ми ис­ход­но­го числа, также де­лит­ся на 4. По­это­му на конце не может быть нечётной цифры, и с конца мы точно вычёрки­ва­ем 1. Остаётся 2346214. Число де­лит­ся на 3, если сумма цифр де­лит­ся на 3. То есть нужно вы­черк­нуть ещё две цифры так, чтобы число, об­ра­зо­ван­ное двумя по­след­ни­ми циф­ра­ми ис­ход­но­го числа, также де­ли­лось на 4 и при этом сумма цифр числа рав­ня­лась 3. Число 14 на 4 не де­лит­ся, по­это­му также обя­за­тель­но нужно вы­черк­нуть цифру 1. Те­перь будем вычёрки­вать числа так, чтобы сумма цифр числа де­ли­лась на 3. Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем числа 23424, 24624.

Ответ: 23424, 24624.

Число де­лит­ся на 15 тогда, когда оно од­но­вре­мен­но де­лит­ся на 3 и на 5. Число де­лит­ся на 3, если сумма цифр числа де­лит­ся на 3. Число де­лит­ся на 5, если оно окан­чи­ва­ет­ся на 0 или на 5. На 5 число за­кан­чи­вать­ся не может, чтобы число за­кан­чи­ва­лось на 0, сле­ду­ет вы­черк­нуть две по­след­ние цифры 1, 8. Тогда по­лу­ча­ем число 531640, из ко­то­ро­го оста­лось вы­черк­нуть одну цифру так, чтобы сумма остав­ших­ся де­ли­лась на три. По­сколь­ку сумма цифр числа 531640 равна 19, можно вы­черк­нуть 4 или 1, по­лу­чая: 53 160 или 53 640. Любое из этих чисел яв­ля­ет­ся от­ве­том.

Ответ: 53 160 или 53 640.

Если число де­лит­ся на 30, то оно также де­лит­ся на 3 и на 10. По­это­му в по­след­нем раз­ря­де числа дол­жен быть ноль. Тогда вычёрки­ва­ем 41. Остаётся 1415650. Для того, чтобы число де­ли­лось на три не­об­хо­ди­мо, чтобы сумма цифр была крат­на трём, зна­чит,нужно вы­черк­нуть цифру 1 или цифру 4. Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем числа 145650, 115650 и 415650

Ответ: 145650, 115650 или 415650.

Если число де­лит­ся на 15, то оно также де­лит­ся на 3 и на 5. По­это­му в по­след­нем раз­ря­де числа дол­жен быть ноль или цифра пять. Тогда вычёрки­ва­ем 27. Остаётся 745135. По­счи­та­ем сумму цифр  — 25. Для того, чтобы число де­ли­лось на три не­об­хо­ди­мо, чтобы сумма цифр была крат­на трём. В таком слу­чае можно вы­черк­нуть цифру 1 и по­лу­чить число 74535, цифру 4 и по­лу­чить 75135 или вы­черк­нуть цифру 7 и по­лу­чить число 45135.

Ответ: 74535, 75135 или 45135.

Если число де­лит­ся на 18, то оно также де­лит­ся на 9 и на 2. Число долж­но быть чётным, для этого вы­черк­нем цифру 7, по­лу­чим 8541762. По­счи­та­ем сумму цифр  — 33. Для того, чтобы число де­ли­лось на де­вять не­об­хо­ди­мо, чтобы сумма цифр была крат­на де­вя­ти. Можно вы­черк­нуть цифры 5 и 1, по­лу­чив число 84762, либо вы­черк­нуть цифры 4 и 2 и по­лу­чить число 85176. Также воз­мож­но вы­черк­нуть цифры 7 и 8 и по­лу­чить число 54162.

Ответ: 84762, 85176 или 54162.

Число де­лит­ся на 12 тогда и толь­ко тогда, когда оно де­лит­ся на 3 и на 4. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 4 сле­ду­ет, что число чётное  — вы­черк­нем по­след­нюю цифру. Те­перь ис­поль­зу­ем при­знак де­ли­мо­сти на 3. Найдём сумму цифр в числе 1 + 8 + 1 + 6 + 1 + 5 + 1 + 2  =  25. Бли­жай­шие суммы цифр  — 24, 21, 18. Чтобы по­лу­чить сумму цифр 18 вы­черк­нем из числа цифры 6 и 1. По­лу­чим число 181512. Это число де­лит­ся и на 4, и на 3. Число 116112 также под­хо­дит для от­ве­та.

Ответ: 181512, 116112, 811512, 181152.

Если число де­лит­ся на 12, тогда оно де­лит­ся на 3 и на 4. Число де­лит­ся на 3 тогда и толь­ко тогда, когда сумма его цифр де­лит­ся на 3. Число де­лит­ся на 4 тогда и толь­ко тогда, когда число, об­ра­зо­ван­ное двумя по­след­ни­ми его циф­ра­ми де­лит­ся на 4. Сумма цифр числа 23462141 равна 2 + 3 + 4 + 6 + 2 + 1 + 4 + 1 = 23. Чтобы число де­ли­лось на 4 обя­за­тель­но нужно вы­черк­нуть две по­след­ние еди­ни­цы. Те­перь вы­черк­нем одну цифру так, чтобы сумма цифр по­лу­чив­ше­го­ся числа де­ли­лась на 3. Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем числа 23424 и 24624.

Ответ: 23424 или 24624.

Так как число долж­но де­лить­ся на 12, то долж­но де­лить­ся на 4 и на 3, т. е. сумма цифр долж­на де­лить­ся на 3 и число, об­ра­зо­ван­ное двумя по­след­ни­ми циф­ра­ми, долж­но де­лить­ся на 4.

Таким об­ра­зом, за­черкнём по­след­нюю цифру, оста­нет­ся 2346214. Число 14 не де­лит­ся на 4, сле­до­ва­тель­но, надо вы­черк­нуть еще цифру 1. По­лу­чим число 234624, оно де­лит­ся на 4, по­сколь­ку число 24 де­лит­ся на 4. Сумма цифр равна 21, она де­лит­ся на 3. Надо вы­черк­нуть еще одну цифру, чтобы сумма остав­ших­ся цифр де­ли­лась на 3. Для этого надо вы­черк­нуть цифру, де­ля­щу­ю­ся на 3. Это может быть цифра 3 или 6. По­лу­чим числа 24524 и 23424.

Ответ: 24624, 23424.

Число де­лит­ся на 12 тогда и толь­ко тогда, когда оно де­лит­ся на 3 и на 4. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 4 (число де­лит­ся на 4, если две его по­след­ние цифры - нули или об­ра­зу­ют число, ко­то­рое де­лит­ся на 4) сле­ду­ет, что число чётное  — вы­черк­нем по­след­нюю цифру. Те­перь ис­поль­зу­ем при­знак де­ли­мо­сти на 3. Найдём сумму цифр в числе 3 + 2 + 3 + 6 + 5 + 4 + 2  =  25. Бли­жай­шие суммы цифр, ко­то­рые де­лят­ся на 3  — 24, 21, 18. Чтобы по­лу­чить сумму цифр 18 вы­черк­нем из числа цифры 3, 4 и 7. По­лу­чим число 23 652. Это число де­лит­ся и на 4, и на 3. Числа 32 652, 32 364 и 32 352 также под­хо­дят для от­ве­та.

Ответ: 23 652, 32 652, 32 364, 32 352.

Если число де­лит­ся на 18, то оно также де­лит­ся на 9 и на 2. Число долж­но быть чётным, для этого вы­черк­нем цифру 3, по­лу­чим 8 258 470. Найдём сумму цифр  — 34. Для того, чтобы число де­ли­лось на де­вять не­об­хо­ди­мо, чтобы сумма цифр была крат­на де­вя­ти. Можно вы­черк­нуть цифры 2 и 5, по­лу­чив число 88 470, либо вы­черк­нуть цифры 8 и 8 и по­лу­чить число 25 470, либо вы­черк­нуть цифры 7 и 0, по­лу­чив число 82 584.

Ответ: 88 470 или 25 470, или 82 584.

Если число де­лит­ся на 15, то оно также де­лит­ся на 3 и на 5. По­это­му в по­след­нем раз­ря­де числа дол­жен быть ноль или цифра пять. Тогда вычёрки­ва­ем 42. Остаётся 265 835. По­счи­та­ем сумму цифр  — 29. Для того, чтобы число де­ли­лось на три не­об­хо­ди­мо, чтобы сумма цифр была крат­на трём. В таком слу­чае можно вы­черк­нуть цифру 2 и по­лу­чить число 65 835, цифру 5 и по­лу­чить 26 835, или вы­черк­нуть цифру 8 и по­лу­чить число 26 535.

Ответ: 65 835 или 26 835, или 26 535.

Число де­лит­ся на 12 тогда и толь­ко тогда, когда оно де­лит­ся на 3 и на 4. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 4 (число де­лит­ся на 4, если две его по­след­ние цифры  — нули или об­ра­зу­ют число, ко­то­рое де­лит­ся на 4) сле­ду­ет, что число чётное  — вы­черк­нем по­след­ние две цифры. Те­перь ис­поль­зу­ем при­знак де­ли­мо­сти на 3. Найдём сумму цифр в числе 7 + 5 + 1 + 5 + 7 + 6  =  31. Бли­жай­шие суммы цифр, ко­то­рые де­лят­ся на 3  — 30, 27, 24.

Чтобы по­лу­чить сумму цифр 30 вы­черк­нем из числа цифру 1. По­лу­чим число 75 576. Это число де­лит­ся и на 4, и на 3.

Чтобы по­лу­чить сумму цифр 24 вы­черк­нем из числа цифру 7. Цифра 7 встре­ча­ет­ся два раза в числе. По­лу­ча­ем числа 51 576 и 75 156. Эти числа де­лят­ся и на 4, и на 3.

Ответ: 75 576, 51 576, 75 156.

Число де­лит­ся на 22 тогда и толь­ко тогда, когда оно де­лит­ся на 2 и на 11. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 2 (число де­лит­ся на 2, если его по­след­няя цифра чётная) сле­ду­ет, что число чётное  — вы­черк­нем по­след­нюю цифру. Те­перь ис­поль­зу­ем при­знак де­ли­мо­сти на 11: число де­лит­ся на 11, если сумма цифр, ко­то­рые стоят на чет­ных ме­стах равна сумме цифр, сто­я­щих на не­чет­ных ме­стах, либо от­ли­ча­ет­ся от неё на 11. Вы­черк­нув цифры со­от­вет­ству­ю­щим об­ра­зом, можно по­лу­чить числа 30294 и 30954, ко­то­рые удо­вле­тво­ря­ют всем усло­ви­ям.

Ответ: 30 294, 30 954.

Число де­лит­ся на 22 тогда и толь­ко тогда, когда оно де­лит­ся на 2 и на 11. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 2 (число де­лит­ся на 2, если его по­след­няя цифра чётная) сле­ду­ет, что число чётное  — вы­черк­нем по­след­нюю цифру. Те­перь ис­поль­зу­ем при­знак де­ли­мо­сти на 11: число де­лит­ся на 11, если сумма цифр, ко­то­рые стоят на чет­ных ме­стах равна сумме цифр, сто­я­щих на не­чет­ных ме­стах, либо от­ли­ча­ет­ся от неё на 11. Вы­черк­нув цифры со­от­вет­ству­ю­щим об­ра­зом, можно по­лу­чить числа 14 564 и 14 674, ко­то­рые удо­вле­тво­ря­ют всем усло­ви­ям.

Ответ: 14 564, 14 674.

Число де­лит­ся на 30 тогда и толь­ко тогда, когда оно де­лит­ся на 3 и на 10. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 10 (число де­лит­ся на 10, если его по­след­няя цифра 0) сле­ду­ет, что не­об­хо­ди­мо вы­черк­нуть по­след­нюю цифру. Те­перь ис­поль­зу­ем при­знак де­ли­мо­сти на 3, рас­смат­ри­вая сумму остав­ших­ся цифр: 2 + 4 + 7 + 1 + 5 + 9 + 0 = 28. Бли­жай­шие суммы цифр, ко­то­рые де­лят­ся на 3  — 27, 24, 21, 18, 15, 12.

Чтобы по­лу­чить сумму цифр 27, не­об­хо­ди­мо вы­черк­нуть две цифры, да­ю­щих в сумме 1, что не­воз­мож­но, так как цифра 1 одна, и 0 в числе тоже один.

Чтобы по­лу­чить сумму цифр 24, не­об­хо­ди­мо вы­черк­нуть две цифры, да­ю­щих в сумме 4, что не­воз­мож­но, так как цифра 4 одна, и 0 в числе тоже один, а дру­гие ком­би­на­ции цифр нуж­ной суммы не дают.

Чтобы по­лу­чить сумму цифр 21, не­об­хо­ди­мо вы­черк­нуть две цифры, да­ю­щих в сумме 7, т. е. 2 и 5, по­лу­чая таким об­ра­зом число 47 190.

Чтобы по­лу­чить сумму цифр 18, не­об­хо­ди­мо вы­черк­нуть две цифры, да­ю­щих в сумме 10, т. е. 1 и 9, по­лу­чая таким об­ра­зом число 24 750.

Чтобы по­лу­чить сумму цифр 15, не­об­хо­ди­мо вы­черк­нуть две цифры, да­ю­щих в сумме 13, т. е. 4 и 9, по­лу­чая таким об­ра­зом число 27 150.

Чтобы по­лу­чить сумму цифр 12, не­об­хо­ди­мо вы­черк­нуть две цифры, да­ю­щих в сумме 16, т. е. 7 и 9, по­лу­чая таким об­ра­зом число 24 150.

Ответ: 24 150, 24 750, 27 150, 47 190 .

Число де­лит­ся на 18 тогда и толь­ко тогда, когда оно де­лит­ся на 2 и на 9. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 2  — число де­лит­ся на 2, если его по­след­няя цифра чет­ная. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 9  — число де­лит­ся на 9, если сумма его цифр де­лит­ся на 9. Сумма цифр числа равна 4 + 7 + 2 + 9 + 5 + 7 + 8 + 2= 44. Бли­жай­шие суммы цифр, ко­то­рые де­лят­ся на 9  — 27, 36.

Чтобы по­лу­чить сумму цифр 27, не­об­хо­ди­мо вы­черк­нуть три цифры, да­ю­щих в сумме 17: 8, 2, 7 или 4, 5, 8. По­лу­ча­ем сле­ду­ю­щие числа 49572, 47952, 47295, 72972. Среди по­лу­чен­ных чисел 47295 не удо­вле­тво­ря­ет усло­ви­ям, по­сколь­ку не яв­ля­ет­ся чет­ным.

Чтобы по­лу­чить сумму цифр 36, не­об­хо­ди­мо вы­черк­нуть три цифры, да­ю­щих в сумме 8: 4, 2, 2. По­лу­ча­ем число 79578.

Ответ: 47 952, 49 572, 72 972, 79 578.

Число де­лит­ся на 30 тогда и толь­ко тогда, когда оно де­лит­ся на 3 и на 10. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 10  — число де­лит­ся на 10, если его по­след­няя цифра 0, сле­ду­ет, что нужно вы­черк­нуть по­след­нюю цифру. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 3  — число де­лит­ся на 3, если сумма его цифр де­лит­ся на 3. Сумма цифр числа равна 7 + 5 + 4 + 1 + 6 + 3 + 0 = 26. Бли­жай­шие суммы цифр, ко­то­рые де­лят­ся на 3  — 15, 18, 21, 24.

Чтобы по­лу­чить сумму цифр 15, не­об­хо­ди­мо вы­черк­нуть две цифры, да­ю­щих в сумме 11: 7 и 4, 5 и 6. По­лу­ча­ем сле­ду­ю­щие числа 51630, 74130.

Чтобы по­лу­чить сумму цифр 18, не­об­хо­ди­мо вы­черк­нуть две цифры, да­ю­щих в сумме 8: 5 и 3, 7 и 1. По­лу­ча­ем числа 74160, 54630.

Чтобы по­лу­чить сумму цифр 21, не­об­хо­ди­мо вы­черк­нуть две цифры, да­ю­щих в сумме 5: 4 и 1. По­лу­ча­ем число 75630.

Чтобы по­лу­чить сумму цифр 24, не­об­хо­ди­мо вы­черк­нуть две цифры, да­ю­щих в сумме 2, что не­воз­мож­но.

Ответ: 51 630, 54 630, 74 130, 74 160, 75 630.

Число де­лит­ся на 12 тогда и толь­ко тогда, когда оно де­лит­ся на 4 и на 3. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 4  — число де­лит­ся на 4, если две по­след­ние цифры де­лят­ся на 4 (число как ми­ни­мум чет­ное), сле­ду­ет, что нужно вы­черк­нуть цифру 5. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 3  — число де­лит­ся на 3, если сумма его цифр де­лит­ся на 3. Сумма цифр числа равна 3 + 5 + 2 + 4 + 2 + 3 + 4 = 23. Бли­жай­шие суммы цифр, ко­то­рые де­лят­ся на 3  — 15, 18, 21.

Чтобы по­лу­чить сумму цифр 15, не­об­хо­ди­мо вы­черк­нуть две цифры, да­ю­щих в сумме 8: 3 и 5, 4 и 4. По­лу­ча­ем сле­ду­ю­щие числа 24234, 32424, 35223. Среди по­лу­чен­ных чисел 35223 и 24234 не удо­вле­тво­ря­ют усло­ви­ям, по­сколь­ку не де­лят­ся на 4.

Чтобы по­лу­чить сумму цифр 18, не­об­хо­ди­мо вы­черк­нуть две цифры, да­ю­щих в сумме 5: 2 и 3. По­лу­ча­ем числа 54234, 52434, 35424, 35434, 35244. Среди по­лу­чен­ных чисел 52434 и 35434 не удо­вле­тво­ря­ют усло­ви­ям, по­сколь­ку не де­лят­ся на 4.

Чтобы по­лу­чить сумму цифр 21, не­об­хо­ди­мо вы­черк­нуть две цифры, да­ю­щих в сумме 2, что не­воз­мож­но.

Ответ: 32 424, 35 424, 35 244.

Число де­лит­ся на 15 тогда и толь­ко тогда, когда оно де­лит­ся на 5 и на 3. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 5  — число де­лит­ся на 5, если его по­след­няя цифра 0 или 5, сле­ду­ет, что нужно вы­черк­нуть две по­след­ние цифры. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 3  — число де­лит­ся на 3, если сумма его цифр де­лит­ся на 3. Сумма цифр числа равна 6 + 5 + 3 + 1 + 0 = 15. Бли­жай­шие суммы цифр, ко­то­рые де­лят­ся на 3  — 9, 12, 15.

Чтобы по­лу­чить сумму цифр 9, не­об­хо­ди­мо вы­черк­нуть цифру 6. По­лу­ча­ем число 50310.

Чтобы по­лу­чить сумму цифр 12, не­об­хо­ди­мо вы­черк­нуть цифру 3. По­лу­ча­ем число 65010.

Чтобы по­лу­чить сумму цифр 15, не­об­хо­ди­мо вы­черк­нуть цифру 0. По­лу­ча­ем число 65310.

Ответ: 50 310, 65 010, 65 310.