Число де­лит­ся на 88, если оно де­лит­ся на 8 и на 11. При­знак де­ли­мо­сти на 8: число де­лит­ся на 8 тогда и толь­ко тогда, когда три его по­след­ние цифры  — нули или об­ра­зу­ют число, ко­то­рое де­лит­ся на 8. При­знак де­ли­мо­сти на 11: число де­лит­ся на 11, если сумма цифр, ко­то­рые стоят на чет­ных ме­стах равна сумме цифр, сто­я­щих на не­чет­ных ме­стах, либо раз­ность этих сумм де­лит­ся на 11. Ис­поль­зуя при­знак де­ли­мо­сти на 8, и учи­ты­вая, что все цифры ис­ко­мо­го числа долж­ны быть чётны и раз­лич­ны по­лу­ча­ем, что по­след­ни­ми циф­ра­ми числа могут быть: 024, 048, 064, 208, 240, 264, 280, 408, 480, 608, 624, 640, 648, 680, 824, 840, 864. Ис­поль­зуя при­знак де­ли­мо­сти на 11 по­лу­чим, что усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют числа: 6248, 8624, 2640.

Ответ: 2640, 6248 или 8624.

При­ведём идею дру­го­го ре­ше­ния.

Ис­ко­мое число долж­но быть за­пи­са­но че­тырь­мя из пяти цифр 0, 2, 4, 6 и 8, каж­дая из ко­то­рых взята один раз. Причём сумма цифр в раз­ря­дах тысяч и де­сят­ков долж­на быть равна сумме цифр в раз­ря­дах сотен и еди­ниц, а три по­след­ние цифры ис­ко­мо­го числа долж­ны об­ра­зо­вы­вать трёхзнач­ное число, крат­ное вось­ми. Пусть в раз­ря­де тысяч стоит 8, тогда в раз­ря­де де­сят­ков долж­на быть 2, а в раз­ря­де сотен и еди­ниц  — цифры 4 и 6. За­ме­тим, что число 8624 удо­вле­тво­ря­ет усло­вию. Далее ана­ло­гич­но для чисел, на­чи­на­ю­щих­ся с 2, 4 и 6.

Число де­лит­ся на 75, если оно де­лит­ся и на 3 и на 25. Вспом­ним при­знак де­ли­мо­сти на 3  — число де­лит­ся на 3 тогда и толь­ко тогда, когда сумма его цифр де­лит­ся на 3. Вспом­ним при­знак де­ли­мо­сти на 25  — число де­лит­ся на 25 тогда и толь­ко тогда, когда две его по­след­ние цифры де­лят­ся на 25 (то есть об­ра­зу­ют 00, 25, 50 или 75) или число крат­но 5. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 25 сле­ду­ет, что по­след­ние цифры на­ше­го числа 75. Из всех нечётных цифр нам под­хо­дят 3 и 9, так как толь­ко они при сло­же­нии с циф­ра­ми 7 и 5 об­ра­зу­ют сумму рав­ную 24, ко­то­рая де­лит­ся на 3. Ис­ко­мое число 3975 или 9375.

Ответ: 3975, 9375.

При­ме­ча­ние.

От­ме­тим, что, на­при­мер, число 1350 не под­хо­дит по­сколь­ку 0 яв­ля­ет­ся чётным чис­лом.

Наи­мень­шее че­ты­рех­знач­ное число, крат­ное 66,  — число 1056. Чтобы пер­вая цифра была чет­ной удво­им его, по­лу­чим 2112, до­ба­вим 66 · 2  =  132, чтобы и вто­рая цифра стала чет­ной, по­лу­чим 2244, и будем до­бав­лять по 66 до тех пор, цифры не ста­нут раз­лич­ны­ми. До­ба­вив 6 раз, по­лу­чим 2640. (Воз­мож­ны и дру­гие при­ме­ры.)

Число де­лит­ся на 45, если оно де­лит­ся на 5 и на 9. При­знак де­ли­мо­сти на 5: число де­лит­ся на 5 тогда и толь­ко тогда, когда его по­след­няя цифра  — нуль или 5. При­знак де­ли­мо­сти на 9: число де­лит­ся на 9, если сумма цифр числа де­лит­ся на 9. Ис­поль­зуя при­знак де­ли­мо­сти на 5, и учи­ты­вая, что все цифры ис­ко­мо­го числа долж­ны быть чётны, по­лу­ча­ем, что на конце числа обя­за­тель­но дол­жен быть нуль. Учи­ты­вая, что все цифры ис­ко­мо­го числа долж­ны быть раз­лич­ны, по­лу­чим, что усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют числа: 4680, 4860, 6480, 6840, 8460, 8640.

Ответ: 4680, 4860, 6480, 6840, 8460 или 8640.

Если число де­лит­ся на 45, то оно долж­но де­лить­ся на 5 и на 9. По­сколь­ку число со­сто­ит из раз­лич­ных нечётных цифр, оно долж­но окан­чи­вать­ся на 5, а сумма его цифр долж­на быть крат­на 9. Сле­до­ва­тель­но, число будет со­сто­ять из цифр 1, 3, 5 и 9. Этим усло­ви­ям удо­вле­тво­ря­ют числа: 1395, 1935, 3195, 3915, 9135 и 9315.

Ответ: 1395, 1935, 3195, 3915, 9135, 9315.

Если число де­лит­ся на 33, то оно долж­но де­лить­ся на 3 и на 11. За­ме­тим, что число со­сто­ит из раз­лич­ных нечётных цифр. По­сколь­ку оно долж­но де­лить­ся на 11, сумма его цифр, сто­я­щих на чётных ме­стах, долж­на быть равна сумме его цифр, сто­я­щих на нечётных ме­стах. Также общая сумма цифр числа долж­на быть крат­на 3. Зна­чит, в числе нет цифры 1, по­сколь­ку не­воз­мож­но будет вы­пол­нить усло­вие де­ли­мо­сти на 11. Тогда число будет со­сто­ять из цифр 3, 5, 7 и 9. За­ме­тим, что пары чисел 5 и 7, 3 и 9 дают оди­на­ко­вую сумму, рав­ную 12. Сумма этих четырёх чисел крат­на 3. Таким об­ра­зом, под­хо­дят сле­ду­ю­щие числа: 3597, 3795, 5379, 5973, 7359, 7953, 9537, 9735.

Ответ: 3597, 3795, 5379, 5973, 7359, 7953, 9537, 9735.

Если число де­лит­ся на 55, то оно долж­но де­лить­ся на 5 и на 11. За­ме­тим, что число со­сто­ит из раз­лич­ных нечётных цифр. По­сколь­ку оно долж­но де­лить­ся на 11, сумма его цифр, сто­я­щих на чётных ме­стах, долж­на быть равна сумме его цифр, сто­я­щих на нечётных ме­стах. Также число долж­но окан­чи­вать­ся на цифру 5. За­ме­тим, что пары чисел 5 и 7, 3 и 9 дают оди­на­ко­вую сумму, рав­ную 12, пары чисел 1 и 7, 5 и 3 дают оди­на­ко­вую сумму, рав­ную 8. Таким об­ра­зом, под­хо­дят сле­ду­ю­щие числа: 1375, 3795, 7315, 9735.

Ответ: 1375, 3795, 7315, 9735.