Ре­ше­ние. При­ве­дем дроби к об­ще­му зна­ме­на­те­лю, вы­пол­ним умно­же­ние:

Ответ: 75,6.

Ре­ше­ние. Ис­поль­зуя фор­му­лу раз­но­сти квад­ра­тов по­лу­ча­ем:

Ответ:

Ре­ше­ние. 1)  На при­лав­ке бу­ло­чек с маком было столь­ко же, сколь­ко и ме­до­ви­ков  — не­вер­но.

2)  Всего 4 пи­рож­ных с кре­мом,   — не­вер­но.

3)  Срав­ним ко­ли­че­ство тру­бо­чек и эк­ле­ров:   — верно.

4)  В кон­ди­тер­ской есть 3 бу­лоч­ки с маком и 3 ме­до­ви­ка  — верно.

Ответ: 34 или 43.

Ре­ше­ние. Углы AOD и DOB  — смеж­ные, вме­сте со­став­ля­ют раз­вер­ну­тый угол, сле­до­ва­тель­но,

По­сколь­ку OK  — бис­сек­три­са угла AOD,

Ответ: 36.

Ре­ше­ние. 1)  Пусть зна­че­ния чис­лен­но­сти на­се­ле­ния об­ра­зу­ют чис­ло­вой ряд. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское ряда равно 7,1, зна­чит, сумма всех эле­мен­тов ряда равна 35,5. Мак­си­мум равен 12,6, что от 35,5 со­став­ля­ет боль­ше трети, но мень­ше по­ло­ви­ны. Зна­чит, по­дой­ти может толь­ко диа­грам­ма 1, 3 или 4. Ми­ни­мум равен 4,3, что от 35,5 со­став­ля­ет не­мно­го мень­ше одной вось­мой. Тогда диа­грам­мы 3 и 4 не под­хо­дит. Оста­ет­ся диа­грам­ма 1.

2)  По дан­ным диа­грам­мы 1 Крас­но­дар­ский край  — чет­вер­тая по чис­лен­но­сти на­се­ле­ния среди всех пяти субъ­ек­тов Рос­сий­ской Фе­де­ра­ции. Его чис­лен­ность на­се­ле­ния за­ни­ма­ет при­мер­но одну седь­мую часть диа­грам­мы, сле­до­ва­тель­но, её чис­лен­ность на­се­ле­ния при­мер­но равна 5 млн чел.

Ответ: 1)  1; 2)  5.

Ре­ше­ние. Упро­стим вы­ра­же­ние:

Най­дем его зна­че­ние при

Ответ:

Ре­ше­ние. Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «В тре­уголь­ни­ке про­тив мень­ше­го угла лежит боль­шая сто­ро­на.»  — не­вер­но, в тре­уголь­ни­ке на­про­тив боль­ше­го угла лежит боль­шая сто­ро­на.

2)  «Если один угол тре­уголь­ни­ка боль­ше 120°, то два дру­гих его угла мень­ше 30°.»  — не­вер­но, сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°.

3)  «Если все сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка мень­ше 1, то и хотя бы одна вы­со­та его боль­ше 1.»  — не­вер­но, пер­пен­ди­ку­ляр, про­ведённый из точки к пря­мой, мень­ше любой на­клон­ной, про­ведённой из той же точки к этой пря­мой.

4)  «Сумма ост­рых углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка не пре­вос­хо­дит 90°.»  — верно, сумма ост­рых углов тре­уголь­ни­ка равна 90°.

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. В сен­тяб­ре рас­ход элек­тро­энер­гии был при­мер­но на 35–49 (в от­ве­те может быть за­пи­са­но любое число из этого про­ме­жут­ка) ки­ло­ватт-часов боль­ше, чем в ав­гу­сте.

Ре­ше­ние. Ко­ли­че­ство путей до го­ро­да X  =  ко­ли­че­ство путей до­брать­ся в любой из тех го­ро­дов, из ко­то­рых есть до­ро­га в Х.

При этом если путь дол­жен не про­хо­дить через какой-то город, нужно про­сто не учи­ты­вать этот город при под­сче­те сумм. А если город на­о­бо­рот обя­за­тель­но дол­жен ле­жать на пути, тогда для го­ро­дов, в ко­то­рые из нуж­но­го го­ро­да идут до­ро­ги, в сум­мах нужно брать толь­ко этот город.

С по­мо­щью этого на­блю­де­ния по­счи­та­ем по­сле­до­ва­тель­но ко­ли­че­ство путей до каж­до­го из го­ро­дов:

А = 1;

Б = А = 1;

В = А + Б = 1 + 1 = 2;

Г = В = 2 = 2; (А не учи­ты­ва­ем, по­сколь­ку путь дол­жен про­хо­дить через В)

Д = В = 2 = 2; (Б не учи­ты­ва­ем, по­сколь­ку путь дол­жен про­хо­дить через В)

Е = В + Д = 2 + 2 = 4;

Ж = В + Г = 2 + 2 = 4;

К = Д + Е + Ж = 2 + 4 + 4 = 10.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Ко­ли­че­ство путей из го­ро­да А в город К, про­хо­дя­щих через город В, равно про­из­ве­де­нию ко­ли­че­ства путей из го­ро­да А в город В и ко­ли­че­ства путей из го­ро­да В в город К.

Най­дем ко­ли­че­ство путей из го­ро­да А в город В:

А = 1;

Б = А = 1;

В = А + Б = 1 + 1 = 2.

Най­дем ко­ли­че­ство путей из го­ро­да В в город К (при этом В - ис­ход­ный пункт):

В = 1;

Г = В = 1;

Д = В = 1;

Е = В + Д = 2;

Ж = В + Г = 2;

К = Д + Е + Ж = 5.

Тогда ко­ли­че­ство путей из го­ро­да А в город К, про­хо­дя­щих через город В, равно 2 · 5 = 10.

Ответ: 10.

Ре­ше­ние. Если число де­лит­ся на 18, то оно де­лит­ся од­но­вре­мен­но и на 9, и на 2. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 2 сле­ду­ет, что число долж­но быть чет­ным. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 9 сле­ду­ет, что сумма цифр числа долж­на де­лить­ся на 9.

Пред­ста­вим ис­ко­мое число в виде abcd. Рас­смот­рим слу­чаи, когда a  =  2 и a  =  3.

Пусть a  =  2. Тогда по­след­няя цифра может быть либо 6, либо 8 (из усло­вия, что каж­дая сле­ду­ю­щая цифра боль­ше преды­ду­щей). Если по­след­няя цифра 6, то сумма двух цифр со­став­ля­ет 8, зна­чит, что сумма двух остав­ших­ся цифр долж­на рав­нять­ся 10, что не­воз­мож­но по­до­брать из остав­ших­ся воз­мож­ных цифр 3, 4 или 5. Если по­след­няя цифра 8, то сумма двух остав­ших­ся цифр со­став­ля­ет 8, что воз­мож­но  — число 2358.

Пусть a  =  3 и тогда един­ствен­ным под­хо­дя­щим чис­лом может быть 3456, и оно удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям.

Пусть тогда сумма двух цифр равна 11. Чтобы число де­ли­лось на 9, сумма цифр числа долж­на рав­нять­ся 18, 27 и т. д. Чисел, удо­вле­тво­ря­ю­щих всем усло­ви­ям, в дан­ном диа­па­зо­не нет.

Ответ: 2358 или 3456.

Ре­ше­ние. Пусть x  — число де­та­лей, из­го­тов­лен­ных вто­рой бри­га­дой, тогда пер­вая бри­га­да из­го­то­ви­ла де­та­лей, а тре­тья  — де­та­лей. Вме­сте три бри­гад из­го­то­ви­ли 248 де­та­лей, со­ста­вим урав­не­ние:

Вто­рая бри­га­да из­го­то­ви­ла 108 де­та­лей, сле­до­ва­тель­но, пер­вая бри­га­да из­го­то­ви­ла де­та­лей, а тре­тья  — 113 де­таль. Таким об­ра­зом, тре­тья бри­га­да из­го­то­ви­ла на 113 − 27  =  86 де­та­лей боль­ше.

Ответ: 86.

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: 6,5.

Ре­ше­ние. Пусть точка Н  — ос­но­ва­ние вы­со­ты, про­ведённой из точки В к пря­мой, со­дер­жа­щей сто­ро­ну АС. В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке АВС на­хо­дим:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ВНС: BC  =  2 · BH  =  26.

Ответ: 26.

Ре­ше­ние. а)  Вы­чис­лим:

б)  Вы­чис­лим: 39 + 44  =  83.

Ответ: а) 144; б) 83.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку BM  — ме­ди­а­на,

Най­дем MH:

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки BHM и BHC, они пря­мо­уголь­ные, MH равно HC, BH  — общая, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки равны. От­ку­да то есть тре­уголь­ник MBC  — рав­но­бед­рен­ный, зна­чит, Углы AMB и BMC  — смеж­ные, вме­сте со­став­ля­ют раз­вер­ну­тый угол, по­это­му

Ответ: 140.

Ре­ше­ние. Раз­ло­жим на мно­жи­те­ли:

При де­ле­нии на 5 воз­мож­ны пять раз­лич­ных остат­ков. Про­ана­ли­зи­ру­ем каж­дый из слу­ча­ев.

Если  то пер­вый мно­жи­тель де­лит­ся на 5.

Если то тре­тья скоб­ка де­лит­ся на 5.

Если то тре­тья скоб­ка де­лит­ся на 5.

Если то вто­рая скоб­ка де­лит­ся на 5.

Если то вто­рая скоб­ка де­лит­ся на 5.

Таким об­ра­зом, при всех на­ту­раль­ных n число де­лит­ся на  5 без остат­ка.

Ответ: 0.

Ре­ше­ние. За то время, пока пер­вый ве­ло­си­пе­дист делал оста­нов­ку, вто­рой ве­ло­си­пе­дист про­ехал Всё осталь­ное время они од­но­вре­мен­но на­хо­ди­лись в пути, зна­чит, вто­рой ве­ло­си­пе­дист за это время про­ехал Таким об­ра­зом, сум­мар­но он про­ехал 84 км.

Ответ: 84 км.